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Dérivées partielles

Patrick Hoffmann

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La notion de dérivée partielle est ici introduite pour les fonctions de deux variables, qui peuvent être représentées graphiquement dans l'espace R³. Le concept pourra être ensuite naturellement étendu et utilisé pour les fonctions de trois variables et plus.

Par exemple l'égalité suivante :

pour les intervalles :

correspond à une surface dans R³ qui admet la représentation graphique suivante :

C'est une variété à deux dimensions. C'est à dire qu'il faut deux paramètres, ici x et y, pour parcourir tous les points de la surface. Fixer l'un des paramètres, par exemple x, revient à couper la surface de représentation par un plan d'équation x = Cst . Dans l'illustration suivante, le plan de coupe a pour équation x = 3 :

La courbe résultant de l'intersection de la surface par le plan x = 3 est le graphe d'une fonction z de la variable y :

La dérivée de cette fonction est bien sûr la pente de la tangente du graphe, représentable dans le plan x = 3 . C'est la dérivée ordinaire de la fonction qui est notée . C'est également la dérivée partielle, par rapport à la variable y, de la fonction f(x,y) ; on utilise, selon les besoins, ces différentes notations :

La dérivée partielle seconde est pour sa part notée sous les formes :

Actionnez le curseur pour déplacer la tangente !

En pratiquant une "coupe" dans le plan y = Cst , on représente d'une façon analogue les dérivées partielles selon la variable x. Par exemple dans le plan : y = - 0.5 , il vient :

Actionnez le curseur pour déplacer la tangente !

Ces dérivées partielles dépendent en général des deux variables x et y de la fonction f ( x , y ) :

Dans le cas d'une fonction de deux variables, la dérivée partielle première est la pente de la tangente à la surface de représentation. La dérivée partielle seconde est la concavité du graphe issu de la coupe de cette surface par un plan.

Actionnez les curseurs pour déplacer les tangentes !

La variation de la pente locale, en général change avec la direction. De ce fait, la variation de :

est représentée dans la direction x par :

mais sa variation dans la direction y sera alors notée :

c'est la pente de la tangente au graphe représentant la dérivée en fonction de y :

En Physique, hormis pour quelques théories relativistes unitaires, on travaillera toujours dans des espaces qui sont variétés différentiables sans torsion. La relation suivante sera alors toujours vérifiée :

Par analogie, les dérivées partielles d'ordres supérieures seront introduites sans difficulté de principe.